Mehr zur Form von Schlüssen, die logisch immer gültig sind

Schlüsse, die logisch immer gültig sind, sind es allein auf Grund ihrer Form. Die folgenden Konklusionen (K) dürfen bedenkenlos aus den Prämissen (P) geschlussfolgert werden (das kennzeichnen wir mit einer Linie). Es handelt sich, wenn man die Prämissen und die Konklusion zusammen nimmt, um schlüssige (=immer gültige) Argumente:

Zuerst der Klassiker[1]:

P1: Alle Menschen sind sterblich.
P2: Mohammed ist ein Mensch.
K: Mohammed ist sterblich.

P1: Alle Äpfel sind Obst.
P2: Das hier vor mir ist ein Apfel.
K: Das hier vor mir ist Obst.

Oder mit wenn, dann:

P1: Wenn Mohammed ein Mensch ist, dann ist Mohammed sterblich.
P2: Mohammed ist ein Mensch.
K: Mohammed ist sterblich.

P1: Wenn etwas ein Apfel ist, dann ist es Obst.
P2: Das hier vor mir ist ein Apfel.
K: Das hier vor mir ist Obst.

Und komplizierter:

P1: Wenn ich groß bin, dann werde ich oft Pfannkuchen frühstücken.
K: Es kann nicht sein, dass ich groß bin und nicht oft Pfannkuchen frühstücke.

P1: Wenn Anna (noch) nicht groß ist, dann isst  sie nicht jeden Morgen Pfannkuchen.
P2: Wenn Anna jeden Morgen Pfannkuchen isst, dann ernährt sie sich nicht gesund.
P3: Anna ist noch nicht groß oder Anna ernährt sich gesund.
K: Anna ist nicht jeden Morgen Pfannkuchen.

Formale Darstellung der Argumente

Was heißt es nun, dass diese Argumente eine bestimmte Form haben? Es heißt zunächst, dass wir diese Form auch formal darstellen können. Das machen wir mit der Aussagenlogik. Um Argumente in Form zu bringen, gehen wir in zwei Schritten vor:

  1. Wir ordnen jeder Teilaussage eines Arguments einen anderen Buchstaben zu (klassisch benutzt man dafür häufig P, Q, R, S).
  2. Wir identifizieren die Wörter, die die Teilaussagen verknüpfen, so genannte Operatoren (nicht, wenn-dann, oder, und).

Beginnen wir mit der Sterblichkeitssache:

P1: Wenn Mohammed ein Mensch ist, dann ist Mohammed sterblich.
In der Prämisse stecken zwei Teilaussagen
T1: Mohammed ist ein Mensch.
Dieser Aussage ordnen wird den Buchstaben P zu.
T2: Mohammed ist sterblich.
Dieser Aussage ordnen wir den Buchstaben Q zu.
Diese beiden Teilaussagen wurden durch wenn-dann miteinander verbunden. Das Zeichen für wenn-dann ist „→“. Wir verknüpfen die beiden Aussagen mit dem Pfeil und bringen Prämisse 1 in Form:
P → Q

P2: Mohammed ist ein Mensch.
Dieser Aussage haben wir bereits den Buchstaben P zugeordnet.
Die Prämisse enthält keine Operatoren. Wir müssen also nichts verknüpfen und bringen Prämisse 2 in Form:
P

K: Mohammed ist sterblich.
Der Aussage hatten wir den Buchstaben Q zugeordnet.
Die Konklusion enthält keine Operatoren, sie hat die Form:
Q

Zusammen sieht das Ganze dann so aus:
P → Q
P_____
Q

Argumente dieser Form sind in der Aussagenlogik immer gültig.

Das gilt auch für das Argument:

P1: Wenn ich groß bin, dann werde ich oft Pfannkuchen frühstücken.____________
K: Es kann nicht sein, dass ich groß bin und nicht oft Pfannkuchen frühstücke.

Formalisieren wir es:

P1: Wenn ich groß bin, dann werde ich oft Pfannkuchen frühstücken.
In der ersten Prämisse stecken zwei Teilaussagen:
T1: Ich bin groß.
P
T2: Ich frühstücke oft Pfannkuchen.
Q
Die Aussagen sind mit wenn-dann verknüpft
P → Q
 
K: Es kann nicht sein, dass ich groß bin und nicht oft Pfannkuchen frühstücke.
In der Konklusion stecken genau die gleichen Teilaussagen T1 und T2 (also P, Q), wie in der Prämisse.
Die Aussagen sind mit zwei Operatoren verknüpft:
Der Operator und verbindet die beiden Teilaussagen. Für und schreiben wir &.
Der Operator nicht verneint die verknüpfte Aussage und er verneint T2. Für nicht schreiben wir ~.
Formal schreiben wir:
~(P & ~Q).

Wir müssen die P & ~Q in Klammern schreiben, damit klar ist, dass sich das erste nicht (Es kann nicht sein, dass) auf die gesamte folgende Aussage bezieht und nicht auf T1.

Zusammen sieht das Ganze dann so aus
P → Q____
~(P & ~ Q)

Argumente dieser Form sind in der Aussagenlogik immer schlüssig.

Formalisieren wir auch noch das komplizierteste Argument:

P1: Wenn Anna (noch) nicht groß ist, dann isst  sie nicht jeden Morgen Pfannkuchen.
Wir finden wieder zwei Teilaussagen
T1: Anna ist noch nicht groß.
P
T2: Anna ist nicht jeden Morgen Pfannkuchen.
Q
Die Aussagen sind mit dem Operator wenn-dann verknüpft. Außerdem werden beide Teilaussagen verneint.
Wir schreiben formal:
~P →~Q.

P2: Wenn Anna jeden Morgen Pfannkuchen isst, dann ernährt sie sich nicht gesund.
Wir finden die erste Aussage bereits in P1 als T2:
Q
Und außerdem eine dritte Aussage T3: Anna ernährt sich gesund.
R
Die Aussagen sind mit dem Operator wenn-dann verknüpft, T3 wird verneint.
Wir schreiben formal:
Q → ~ R

P3: Anna ist noch nicht groß oder Anna ernährt sich gesund.
Die erste Aussage entspricht T1, also
P
Die zweite Teilaussage entsprichtT3, also
R
Die beiden Aussagen sind durch den Operator oder miteinander verbunden. Für oder schreiben wir formal „v“.
Wir erhalten:
~P v R

K: Anna ist nicht jeden Morgen Pfannkuchen.
Die Konklusion enthält T2.
Q
T2 wird verneint.
Wir erhalten formal:
~Q.

Zusammen sieht das Ganze dann so aus:
~ P → ~ Q
Q → ~ R
~P v R____
~Q

Auch Argumente dieser Form sind immer schlüssig.

Das ist vielleicht nicht unmittelbar einsehbar und lässt sich besser verstehen, wenn man sich damit beschäftigt, was die Operatoren mit Wahrheit und Falschheit einer Aussage machen.

Dazu gibt es hier bald mehr.

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[1] Von Aristoteles, der so genannte klassische Syllogismus – die Bezeichnung bezieht sich nicht auf das Beispiel, sondern auf die Form an sich.

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