Das durchschnittliche Kind, das gibt es doch gar nicht! oder: Die Standardabweichung

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Statistik ist doch echt Murks, kreiert Sachen, die es gar nicht gibt, wie Gregor, der Sohn von @Miss_Schnuck, ganz richtig feststellt. Es ist schon erstaunlich, dass Schule – oder genauer der Unterricht – dennoch von Lehrerinnen und Lehrern danach konzipiert wird. Am Durchschnitt orientiert sich auch die Bildungspolitik: In den großen Schulleistungsstudien werden die Länder nach dem erreichten Durchschnitt in eine Reihenfolge gebracht. Im Programme for International Student Assessment, besser bekannt als PISA-Studie, lag Deutschland 2015 in den Naturwissenschaften beispielsweise über dem Durchschnitt auf dem zehnten Platz mit einem Wert von 509 Punkten.

Überdurchschnittlich? Supi, dann ist ja alles gut, oder?

Nicht ganz. Denn wie Gregor feststellte: Dieser Wert trifft die Realität nicht. Es werden ja einfach alle Kinder zusammengeschmissen, man rechnet alle Einzelwerte zusammen und teilt dann durch die Anzahl an Kindern, die teilgenommen haben. Mit diesem Vorgehen[1] können wir ein Land – oder eine Klasse – in der alle 10 Kinder 509 Punkte erreicht haben, nicht unterscheiden von einer Klasse, in der die Hälfte 700 Punkte – also einen sehr guten Wert – und die andere Hälfte 318 Punkte – also einen ziemlich geringen Wert – erreicht hat. Ganz offensichtlich sind die Klassen aber doch sehr unterschiedlich.

„Ja….“, sagt jetzt der Skeptiker, „aber das kann man halt nicht so knackig in einer Zahl ausdrücken, es sind ja alle anders“.
„Dohoch….“, antwortet die Statistikerin, „und es ist echt nicht viel schwerer als den Durchschnitt zu berechnen“.

Berechnung der mittleren Abweichung

Der Gedanke zur Berechnung der Unterschiedlichkeit der Kinder ist folgender: Statt den Durchschnitt der Leistung zu berechnen, berechnen wir den  Mittelwert der Abweichung von der durschnittlichen Leistung. In der ersten Klasse, in der alle Kinder einen Wert von 509 Punkten erreicht haben, ist diese mittlere Abweichung null. Logisch, denn alle haben ja den selben Wert. In der zweiten Klasse sieht das anders aus: Auch hier liegt zwar der durchschnittlich erreichte Wert bei 509 – wohlbemerkt, obwohl kein Kind in dieser Klasse diesen exakten Wert erreicht hat. Tatsächlich liegt die eine Hälfte der Kinder unter dem Mittelwert, und zwar genau 191 Punkte. Die andere Hälfte liegt genau 191 Punkte darüber[2].
Im Prinzip könnten wir jetzt daraus die mittlere Abweichung aller Werte vom Mittelwert berechnen, indem wir einfach – wie beim Mittelwert die Punkte – alle Abweichungen addieren und durch die Anzahl an Kindern teilen. Wenn man ein bisschen besser mit Zahlen umgehen kann als ich, dann fällt sofort auf: Es kommt auch bei dieser Klasse null raus. Um das zu vermeiden und damit größere Abweichungen noch mehr zählen als kleine, multipliziert man die jeweiligen Werte mit sich selbst, bevor man sie addiert. Wir rechnen also

(191)²+(191)²+(191)²+(191)²+ (191)²+(-191)²+(-191)²+(-191)²+(-191)²+(-191)²
oder kürzer:
= 5*(191)²+ 5*(-191)²
= 182.405+182.404
= 364.810
Nun teilen wir das ganze durch die Anzahl der Kinder, also durch 10:
= 36.481

Diese Zahl heißt Varianz, ist aber gar nicht interpretierbar. Deshalb machen wir einen mathematischen Trick, wir haben ja vorher so viel quadriert, also was läge da näher als die Wurzel zu ziehen? Machen wir dies, dann erhalten wir eine so genannte

Standardabweichung[3] kurz SD, von 191.

Ja, okay, jaja…. Wenn fünf Kinder 191 Punkte nach oben und 5 Kinder 191 Kinder nach unten ausscheren, dann ist das jetzt nicht sooo überraschend[4].

Aber das coole ist: die Standardabweichung ist auf der gleichen Einheit wie der Mittelwert, also eine Standardabweichung von 191 im Naturwissenschaftstest sind tatsächlich 191 Punkte. Und das alles funktioniert mit den unterschiedlichsten Zahlen.

Und nun wird es spannender als dass Deutschland auf Platz 10 liegt.

Die Standardabweichung lag 2015 in Naturwissenschaft bei 99 Punkten. Der Durschnitt für alle OECD-Länder lag bei einer Standardabweichung von 94 Punkten. In Deutschland variiert die Leistung der Kinder in Naturwissenschaft also stärker als im Durschnitt. Nun könnte man denken: Naja, das muss halt so, denn wenn man eine starke Spitze haben will, dann müssen ein paar auf der Strecke bleiben. Ein Blick in die Statistik zeigt: das Argument ist Quatsch: In Japan, ein Land, das mit M = 538 Punkten deutlich über dem Mittelwert und an erster Stelle in den Naturwissenschaften steht, liegt die Standardabweichung nur bei SD = 93. In Estland sogar nur bei SD = 89 (M = 534, zweiter Platz in den Naturwissenschaften).

Die Standardabweichung ist viel interessanter als jeder Mittelwert und sie gilt natürlich überall: bei Punkten in Tests, bei Größen, bei allem, das mit „Durchschnittlich…“ anfängt.

Und Gregor?

Für ihn habe ich noch ein Plädoyer aus erziehungswissenschaftlicher Sicht:

Du hat Recht, lieber Gregor, Schule sollte nicht auf ein fiktives Durchschnittskind ausgelegt sein, das es nicht gibt. Sie sollte auf die Unterschiedlichkeit der Kinder ausgelegt sein, die wahrhaftig ist[5].

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Quelle für die Zahlen zu PISA: Reiss, K.; Sälzer, C.; Schiepe-Tiska, A.; Klieme, E.; Köller, E. (Hrsg.) (2016). PISA 2015. Eine Studie zwischen Kontinuität und Innovation. Waxmann: Münster und New York. Abgerufen über: http://www.oecd.org/berlin/themen/PISA-2012-Zusammenfassung.pdf

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[1] Die Formel für den Durchschnitt, der genau genommen arithmetisches Mittel heißt, ist: Mx = (x1 + x2 + … xn)/N. mit M = Mittelwert; x =Wert je Kind, N = Anzahl der Kinder.

[2] An dieser Stelle wird mir gerade klar, dass ich möglicherweise keine Gleichung nach x hätte auflösen müssen, um auf diese Werte zu kommen, aber nun ja.

[3] Formel gefällig? SDx = √∑(x-Mx)²/N.

[4] Außer, man hat meine Zahlenkompetenz.

[5] Und die natürlich nicht erschöpfend mit der Standardweichung beschrieben ist 😉

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